1977 AMC 12 第 13 题

Question

若正数数列

a_1

、

a_2

、

a_3

、

\ldots

对所有正整数

n

都满足

a_{n+2}=a_na_{n+1}

，则数列

a_1

、

a_2

、

a_3

、

\ldots

是等比数列的条件为

If

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots

is a sequence of positive numbers such that

a_{n+2}=a_na_{n+1}

for all positive integers

n,

then the sequence

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots

is a geometric progression

任意正数

a_1

和

a_2

均可

for all positive values of

a_1

and

a_2

当且仅当

a_1=a_2

if and only if

a_1=a_2

当且仅当

a_1=1

if and only if

a_1=1

当且仅当

a_2=1

if and only if

a_2=1

当且仅当

a_1=a_2=1

if and only if

a_1=a_2=1

答案：E

知识点：递推等比数列比与比例

难度评级：1860

小提示：

用

a_1

、

a_2

表示

a_3

、

a_4

和

a_5

Write out

a_3,

a_4,

and

a_5

in terms of

a_1,

a_2

大提示：

令前三个相邻项之比相等，并利用各项为正

Equate the first three successive ratios and use positivity

解答：

接下来的各项为

a_3=a_1a_2

、

a_4=a_1a_2^2

和

a_5=a_1^2a_2^3

。若该数列为等比数列，则

\begin{aligned} \frac{a_2}{a_1}&=\frac{a_3}{a_2}=a_1,\\ \frac{a_4}{a_3}&=a_2=a_1 \end{aligned}\text{。}

因此

a_2=a_1^2

，且

a_2=a_1

。由各项为正可知

a_1=a_2=1

。反之，这两个初值会产生常数等比数列

1,1,1,\ldots

。

因此，正确答案是 E。

The next terms are

a_3=a_1a_2,

a_4=a_1a_2^2,

and

a_5=a_1^2a_2^3.

If the sequence is geometric, then

\begin{aligned} \frac{a_2}{a_1}&=\frac{a_3}{a_2}=a_1,\\ \frac{a_4}{a_3}&=a_2=a_1. \end{aligned}

Thus

a_2=a_1^2

and

a_2=a_1.

Positivity forces

a_1=a_2=1.

Conversely, these initial values produce the constant geometric sequence

1,1,1,\ldots.

Therefore, the correct answer is E.

1977 AMC 12 第 13 题

答案：E

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

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