1963 AMC 12 Problema 13

Question

Si

2^a+2^b=3^c+3^d,

¿cuántos de los enteros

a,

b,

c,

d

pueden ser negativos como máximo?

If

2^a+2^b=3^c+3^d,

the number of integers

a,

b,

c,

d

which can possibly be negative is, at most:

4

3

2

1

0

Respuesta: E

Conceptos:exponente divisibilidad paridad

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Un denominador reducido del lado izquierdo solo puede contener

2,

mientras que uno del lado derecho solo puede contener

3

A reduced denominator on the left can contain only

2,

while one on the right can contain only

3

Pista grande:

Concluye que ambos lados deben ser enteros y luego analiza cuándo una suma de dos potencias negativas puede ser entera

Conclude both sides must be integers, then examine when a sum of two negative powers can be integral

Solución:

En forma reducida, el lado izquierdo solo puede tener una potencia de

2

en el denominador, mientras que el lado derecho solo puede tener una potencia de

3.

La igualdad obliga entonces a que ambos lados sean enteros. Si

c

o

d

fuera negativo,

3^c+3^d

conservaría un factor

3

en el denominador. Por tanto,

c,d\geq0.

De igual manera, un valor negativo de

a

o

b

solo puede dar un entero en el caso excepcional

a=b=-1,

cuya suma es

1.

Pero

3^c+3^d\geq2.

Por ello, también

a,b\geq0

, así que ninguno puede ser negativo.

Así, la respuesta correcta es E.

In lowest terms, the left side can have only a power of

2

in its denominator, while the right side can have only a power of

3.

Equality therefore forces both sides to be integers. If either

c

or

d

were negative,

3^c+3^d

would retain a factor

3

in its denominator. Thus

c,d\geq0.

Likewise, negative

a

or

b

can give an integer only in the exceptional case

a=b=-1,

whose sum is

1.

But

3^c+3^d\geq2.

Hence

a,b\geq0

as well, so none can be negative.

Thus, the correct answer is E.