1978 AMC 12 第 13 题

Question

若

a

、

b

、

c

、

d

均为非零数，

c

和

d

是方程

x^2+ax+b=0

的根，而

a

和

b

是方程

x^2+cx+d=0

的根，则

a+b+c+d

等于

If

a,

b,

c,

and

d

are nonzero numbers such that

c

and

d

are the solutions of

x^2+ax+b=0

and

a

and

b

are the solutions of

x^2+cx+d=0,

then

a+b+c+d

equals

0

-2

2

4

\frac{-1+\sqrt5}{2}

答案：B

知识点：二次方程韦达定理方程组

难度评级：2040

小提示：

对两个二次方程分别应用韦达定理

Apply Vieta’s formulas to both quadratics

大提示：

两个关于根的和的方程可推出

b=d

；再利用关于根的积的方程和非零条件

The two sum equations imply

b=d

; then use the product equations and nonzero condition

解答：

由韦达定理，

\begin{aligned} c+d&=-a,& cd&=b,\\ a+b&=-c,& ab&=d\text{。} \end{aligned}

两个关于根的和的方程推出

b=d

。由于

b=d\ne0

，两个关于根的积的方程给出

a=c=1

。再由

a+b=-c

得

b=d=-2

，因此

a+b+c+d=-2

。

因此，正确答案是 B。

Vieta’s formulas give

\begin{aligned} c+d&=-a,& cd&=b,\\ a+b&=-c,& ab&=d. \end{aligned}

The two sum equations imply

b=d.

Since

b=d\ne0,

the product equations give

a=c=1.

Then

a+b=-c

gives

b=d=-2,

and therefore

a+b+c+d=-2.

Therefore, the correct answer is B.

1978 AMC 12 第 13 题

答案：B

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

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