1964 AMC 12 第 22 题

Question

在平行四边形

ABCD

中，

E

是对角线

BD

的中点。将点

E

与边

DA

上一点

F

相连，使

DF=\frac13DA

。三角形

DFE

的面积与四边形

ABEF

的面积之比是多少？

Given parallelogram

ABCD

with

E

the midpoint of diagonal

BD.

Point

E

is connected to a point

F

in

DA

so that

DF=\frac13DA.

What is the ratio of the area of triangle

DFE

to the area of quadrilateral

ABEF?

1:2

1:3

1:5

1:6

1:7

答案：C

知识点：平行四边形面积比中点三角形面积

难度评级：1670

小提示：

使用向量

A=0

、

B=u

、

D=v

Use vectors

A=0,

B=u,

and

D=v

大提示：

此时

E=\frac{u+v}{2}

且

F=\frac{2v}{3}

；分别求两部分面积占平行四边形面积的比例

Then

E=\frac{u+v}{2}

and

F=\frac{2v}{3}

; compute both areas as fractions of the parallelogram

解答：

设平行四边形面积为

S=|u\times v|

，并取

A=0

、

B=u

、

D=v

。则

E=\frac{u+v}{2}

，

F=\frac{2v}{3}

。由行列式得

[DFE]=\frac{S}{12}

。对于四边形

ABEF

，两部分面积给出

[ABEF]=\frac S4+\frac S6=\frac{5S}{12}\text{。}

所求比为

1:5

。

因此，正确答案是 C。

Let the parallelogram’s area be

S=|u\times v|,

with

A=0,

B=u,

and

D=v.

Then

E=\frac{u+v}{2}

and

F=\frac{2v}{3}.

Determinants give

[DFE]=\frac{S}{12}.

For quadrilateral

ABEF,

the two determinant contributions give

[ABEF]=\frac S4+\frac S6=\frac{5S}{12}.

The desired ratio is

1:5.

Therefore, the correct answer is C.

1964 AMC 12 第 22 题

答案：C

难度评级：1670

小提示：

大提示：

解答：

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