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1965 AMC 12 第 7 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

7.

方程

ax^2+bx+c=0

各根的倒数之和为：

The sum of the reciprocals of the roots of the equation

ax^2+bx+c=0

is:

\dfrac1a+\dfrac1b

-\dfrac cb

\dfrac bc

-\dfrac ab

-\dfrac bc

答案：E

知识点：二次方程韦达定理代数变形

难度评级：1510

小提示：

若两根为

r,s

，则

\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=\frac{r+s}{rs}

If the roots are

r,s,

then

\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=\frac{r+s}{rs}

大提示：

利用

r+s=-\frac{b}{a}

和

rs=\frac{c}{a}

Use

r+s=-\frac{b}{a}

and

rs=\frac{c}{a}

解答：

根据韦达定理，

r+s=-\frac{b}{a}

，且

rs=\frac{c}{a}

。因此

\begin{aligned} \frac1r+\frac1s &=\frac{r+s}{rs}\\ &=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac bc \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 E。

By Vieta’s formulas,

r+s=-\frac{b}{a}

and

rs=\frac{c}{a}.

Therefore

\begin{aligned} \frac1r+\frac1s &=\frac{r+s}{rs}\\ &=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac bc. \end{aligned}

Thus, the correct answer is E.

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