1965 AMC 12 Problema 7

Question

La suma de los recíprocos de las raíces de la ecuación

ax^2+bx+c=0

es:

The sum of the reciprocals of the roots of the equation

ax^2+bx+c=0

is:

\dfrac1a+\dfrac1b

-\dfrac cb

\dfrac bc

-\dfrac ab

-\dfrac bc

Si las raíces son

r,s,

entonces

\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=\frac{r+s}{rs}

If the roots are

r,s,

then

\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=\frac{r+s}{rs}

Usa

r+s=-\frac{b}{a}

y

rs=\frac{c}{a}

Use

r+s=-\frac{b}{a}

and

rs=\frac{c}{a}

Por las fórmulas de Vieta,

r+s=-\frac{b}{a}

y

rs=\frac{c}{a}.

Por tanto,

\begin{aligned} \frac1r+\frac1s &=\frac{r+s}{rs}\\ &=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac bc. \end{aligned}

Así, la respuesta correcta es E.

By Vieta’s formulas,

r+s=-\frac{b}{a}

and

rs=\frac{c}{a}.

Therefore

\begin{aligned} \frac1r+\frac1s &=\frac{r+s}{rs}\\ &=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac bc. \end{aligned}

Thus, the correct answer is E.

El Problema 7 en otros años