1996 AMC 12 第 17 题

Question

在长方形

ABCD

中，角

C

被

\overline{CF}

和

\overline{CE}

三等分，其中

E

在

\overline{AB}

上，

F

在

\overline{AD}

上，

BE=6

，且

AF=2

。下列哪一个数最接近长方形

ABCD

的面积？

In rectangle

ABCD,

angle

C

is trisected by

\overline{CF}

and

\overline{CE},

where

E

is on

\overline{AB},

F

is on

\overline{AD},

BE=6,

and

AF=2.

Which of the following is closest to the area of the rectangle

ABCD?

110

120

130

140

150

答案：E

知识点：三角学 rectangle area

难度评级：1830

小提示：

C

处的三个角各为

30^\circ

Each of the three angles at

C

is

30^\circ

大提示：

利用与边

CB

和

CD

相邻的两个直角三角形，求出长方形的高和宽

Use the two right triangles adjacent to sides

CB

and

CD

to determine the rectangle’s height and width

解答：

设长方形的宽为

w

，高为

h

。在直角三角形

CBE

中，

\tan30^\circ=\frac{BE}{CB}=\frac{6}{h}

，所以

h=6\sqrt3

。在由

C,F,D

构成的三角形中，水平距离为

w

，竖直下降距离为

h-2

，所以

\tan60^\circ=\frac{w}{h-2}

。因此

w=\sqrt3(6\sqrt3-2)=18-2\sqrt3\text{。}

面积为

6\sqrt3(18-2\sqrt3)

=108\sqrt3-36\approx151.1

，最接近

150

。所以正确答案是 E。

Let the rectangle have width

w

and height

h.

In right triangle

CBE,

\tan30^\circ=\frac{BE}{CB}=\frac{6}{h},

so

h=6\sqrt3.

In the triangle using

C,F,D,

the horizontal run is

w

and the vertical drop is

h-2,

so

\tan60^\circ=\frac{w}{h-2}.

Hence

w=\sqrt3(6\sqrt3-2)=18-2\sqrt3.

The area is

6\sqrt3(18-2\sqrt3)

=108\sqrt3-36\approx151.1,

closest to

150.

Thus the correct answer is E.

1996 AMC 12 第 17 题

答案：E

难度评级：1830

小提示：

大提示：

解答：

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