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1984 AMC 12 第 17 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

17.

直角三角形

ABC

的斜边为

AB

，且

AC=15

。高

CH

将

AB

分成线段

AH

和

HB

，其中

HB=16

。

\triangle ABC

的面积为

A right triangle

ABC

with hypotenuse

AB

has side

AC=15.

Altitude

CH

divides

AB

into segments

AH

and

HB,

with

HB=16.

The area of

\triangle ABC

is

120

144

150

216

144\sqrt5

答案：C

知识点：直角三角形高线相似三角形面积

难度评级：1920

小提示：

使用直角三角形的射影定理

AC^2=AH\cdot AB

Use the right-triangle projection relation

AC^2=AH\cdot AB

大提示：

求出

AH

后，使用

CH^2=AH\cdot HB

After finding

AH,

use

CH^2=AH\cdot HB

解答：

令

AH=h

。由直角三角形中的相似关系可得

\begin{aligned} AC^2&=AH\cdot AB,\\ 225&=h(h+16) \end{aligned}\text{，}

所以

h=9

。因此

AB=25

。又有

CH=\sqrt{AH\cdot HB}

，所以

CH=\sqrt{9\cdot16}=12

。面积为

\frac12\cdot25\cdot12=150

。

所以正确答案是 C。

Let

AH=h.

Similarity in the right triangle gives

\begin{aligned} AC^2&=AH\cdot AB,\\ 225&=h(h+16), \end{aligned}

so

h=9.

Hence

AB=25.

Also

CH=\sqrt{AH\cdot HB},

so

CH=\sqrt{9\cdot16}=12.

The area is

\frac12\cdot25\cdot12=150.

Therefore, the correct answer is C.

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