1969 AMC 12 Problema 24

Question

Al dividir los números naturales

P

y

P',

con

P\gt P',

entre el número natural

D,

los residuos son

R

y

R',

respectivamente. Al dividir

PP'

y

RR'

entre

D,

los residuos son

r

y

r',

respectivamente. Entonces:

When the natural numbers

P

and

P',

with

P\gt P',

are divided by the natural number

D,

the remainders are

R

and

R',

respectively. When

PP'

and

RR'

are divided by

D,

the remainders are

r

and

r',

respectively. Then:

r\gt r'

siempre

r\gt r'

always

r\lt r'

siempre

r\lt r'

always

r\gt r'

a veces, y

r\lt r'

a veces

r\gt r'

sometimes, and

r\lt r'

sometimes

r\gt r'

a veces, y

r=r'

a veces

r\gt r'

sometimes, and

r=r'

sometimes

r=r'

siempre

r=r'

always

Respuesta: E

Conceptos:aritmética modular

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Escribe

P\equiv R\pmod D

y

P'\equiv R'\pmod D

Write

P\equiv R\pmod D

and

P'\equiv R'\pmod D

Pista grande:

Multiplica las dos congruencias

Multiply the two congruences

Solución:

Por definición de los residuos,

\begin{aligned} P&\equiv R\pmod D,\\ P'&\equiv R'\pmod D. \end{aligned}

Al multiplicar se obtiene

PP'\equiv RR'\pmod D.

Como cada uno tiene un residuo único entre

0

y

D-1,

sus residuos deben ser iguales:

r=r'.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

By definition of the remainders,

\begin{aligned} P&\equiv R\pmod D,\\ P'&\equiv R'\pmod D. \end{aligned}

Multiplying gives

PP'\equiv RR'\pmod D.

Since each has a unique remainder between

0

and

D-1,

their remainders must be equal:

r=r'.

Therefore, the correct answer is E.

1969 AMC 12 Problema 24

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años