1971 AMC 12 Problema 30

Question

Dada la transformación fraccionaria lineal

f_1(x)=\frac{2x-1}{x+1},

define

f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))

para

n=1,

2,

3,

\ldots.

Suponiendo que

f_{35}(x)=f_5(x),

se deduce que

f_{28}(x)

es igual a:

Given the linear fractional transformation

f_1(x)=\frac{2x-1}{x+1},

define

f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))

for

n=1,

2,

3,

\ldots.

Assuming

f_{35}(x)=f_5(x),

it follows that

f_{28}(x)

is equal to:

x

\frac{1}{x}

\frac{x-1}{x}

\frac{1}{1-x}

Ninguna de estas

None of these

Respuesta: D

Conceptos:función recursión transformación

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Cancela cinco iteraciones componiendo con la transformación inversa

Cancel five iterates by composing with the inverse transformation

Pista grande:

Si

g=f_1^{-1}

, entonces

f_{28}=g^2

una vez que

f_{30}

es la identidad

If

g=f_1^{-1}

, then

f_{28}=g^2

once

f_{30}

is the identity

Solución:

La transformación es invertible. A partir de

f_{35}=f_5,

al componer con

f_5^{-1}

se ve que

f_{30}

es la identidad. Al despejar

x

en

y=\frac{2x-1}{x+1}

, se obtiene

g(y)=f_1^{-1}(y)=\frac{y+1}{2-y}.

Como las iteraciones tienen período

30,

f_{28}=f_{-2}=g^2.

La composición directa da

g(g(x))=\frac{1}{1-x}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The transformation is invertible. From

f_{35}=f_5,

composing with

f_5^{-1}

shows that

f_{30}

is the identity. Solving

y=\frac{2x-1}{x+1}

for

x

gives

g(y)=f_1^{-1}(y)=\frac{y+1}{2-y}.

Since iterates have period

30,

f_{28}=f_{-2}=g^2.

Direct composition gives

g(g(x))=\frac{1}{1-x}.

Therefore, the correct answer is D.