1972 AMC 12 Problema 19

Question

La suma de los primeros

n

términos de la sucesión

\begin{gathered} 1,\ (1+2),\ (1+2+2^2),\\ \ldots,\ (1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}) \end{gathered}

expresada en función de

n

es:

The sum of the first

n

terms of the sequence

\begin{gathered} 1,\ (1+2),\ (1+2+2^2),\\ \ldots,\ (1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}) \end{gathered}

in terms of

n

is:

2^n

2^n-n

2^{n+1}-n

2^{n+1}-n-2

n\cdot2^n

La suma entre paréntesis que ocupa el lugar

k

es

2^k-1

The

k

-th parenthesized sum is

2^k-1

Suma

2^1-1,

2^2-1,

\ldots,

y

2^n-1

Sum

2^1-1,

2^2-1,

\ldots,

and

2^n-1

El término de lugar

k

es la suma geométrica

2^k-1.

Por tanto, la suma pedida es

\begin{aligned} \sum_{k=1}^n(2^k-1) &=(2^{n+1}-2)-n\\ &=2^{n+1}-n-2. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The

k

-th term is the geometric sum

2^k-1.

Therefore the desired total is

\begin{aligned} \sum_{k=1}^n(2^k-1) &=(2^{n+1}-2)-n\\ &=2^{n+1}-n-2. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is D.

El Problema 19 en otros años