1972 AMC 12 第 27 题

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27.

若 △ABC\triangle ABC 的面积为 6464 平方单位,边 ABAB 与 ACAC 的几何平均数(比例中项)为 1212 英寸,则 sin⁡A\sin A 等于:
If the area of △ABC\triangle ABC is 6464 square units and the geometric mean (mean proportional) between sides ABAB and ACAC is 1212 inches, then sin⁡A\sin A is equal to:
32\dfrac{\sqrt3}{2}
35\dfrac35
45\dfrac45
89\dfrac89
1517\dfrac{15}{17}
答案:D
知识点:三角形面积三角学代数变形
小提示:
由几何平均数条件求出乘积 AB⋅ACAB\cdot AC
The geometric-mean condition determines the product AB⋅ACAB\cdot AC
大提示:
使用 [△ABC]=12(AB)(AC)sin⁡A[\triangle ABC]=\frac12(AB)(AC)\sin A
Use [△ABC]=12(AB)(AC)sin⁡A[\triangle ABC]=\frac12(AB)(AC)\sin A
解答:
几何平均数条件给出 AB⋅AC=122=144。 AB\cdot AC=12^2=144\text{。}因此 64=12(AB)(AC)sin⁡A=72sin⁡A, \begin{aligned} 64&=\frac12(AB)(AC)\sin A\\ &=72\sin A \end{aligned}\text{,}所以 sin⁡A=89\sin A=\frac{8}{9}。
因此,正确答案是 D。
The geometric-mean condition says AB⋅AC=122=144. AB\cdot AC=12^2=144. Therefore 64=12(AB)(AC)sin⁡A=72sin⁡A, \begin{aligned} 64&=\frac12(AB)(AC)\sin A\\ &=72\sin A, \end{aligned} so sin⁡A=89.\sin A=\frac{8}{9}.
Therefore, the correct answer is D.
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