1975 AMC 12 第 12 题

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12.

若 a≠ba\ne b、a3−b3=19x3a^3-b^3=19x^3、a−b=xa-b=x,则下列哪个结论正确?
If a≠b,a\ne b, a3−b3=19x3,a^3-b^3=19x^3, and a−b=x,a-b=x, which of the following conclusions is correct?
a=3xa=3x
a=3xa=3x 或 a=−2xa=-2x
a=3xa=3x or a=−2xa=-2x
a=−3xa=-3x 或 a=2xa=2x
a=−3xa=-3x or a=2xa=2x
a=3xa=3x 或 a=2xa=2x
a=3xa=3x or a=2xa=2x
a=2xa=2x
答案:B
知识点:立方和与立方差因式分解二次方程
小提示:
分解 a3−b3a^3-b^3,并利用 x=a−b≠0x=a-b\ne0
Factor a3−b3a^3-b^3 and use x=a−b≠0x=a-b\ne0
大提示:
代入 b=a−xb=a-x,并注意此前可以除以 xx
Substitute b=a−xb=a-x after dividing by xx
解答:
因式分解并除以 x≠0x\ne0,得 a2+ab+b2=19x2a^2+ab+b^2=19x^2。代入 b=a−xb=a-x,3a2−3ax+x2=19x2, 3a^2-3ax+x^2=19x^2\text{,} 因而 a2−ax−6x2=0,(a−3x)(a+2x)=0。 \begin{aligned} a^2-ax-6x^2&=0,\\ (a-3x)(a+2x)&=0\text{。} \end{aligned} 所以 a=3xa=3x 或 a=−2xa=-2x。
因此,正确答案是 B。
Factoring and dividing by x≠0x\ne0 gives a2+ab+b2=19x2.a^2+ab+b^2=19x^2. With b=a−x,b=a-x, 3a2−3ax+x2=19x2, 3a^2-3ax+x^2=19x^2, so a2−ax−6x2=0,(a−3x)(a+2x)=0. \begin{aligned} a^2-ax-6x^2&=0,\\ (a-3x)(a+2x)&=0. \end{aligned} Hence a=3xa=3x or a=−2x.a=-2x.
Therefore, the correct answer is B.
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