1976 AMC 12 Problema 22

Question

Dado un triángulo equilátero de lado

s,

considérese el lugar geométrico de todos los puntos

P

del plano del triángulo tales que la suma de los cuadrados de las distancias de

P

a los vértices del triángulo sea un número fijo

a.

Este lugar geométrico

Given an equilateral triangle with side of length

s,

consider the locus of all points

P

in the plane of the triangle such that the sum of the squares of the distances from

P

to the vertices of the triangle is a fixed number

a.

This locus

es un círculo si

a\gt s^2

is a circle if

a\gt s^2

contiene solo tres puntos si

a=2s^2

y es un círculo si

a\gt2s^2

contains only three points if

a=2s^2

and is a circle if

a\gt2s^2

es un círculo de radio positivo solo si

s^2\lt a\lt2s^2

is a circle with positive radius only if

s^2\lt a\lt2s^2

contiene solo una cantidad finita de puntos para cualquier valor de

a

contains only a finite number of points for any value of

a

no es ninguna de estas

is none of these

Respuesta: A

Conceptos:baricentro círculo fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Sea

G

el centroide y expresa la suma mediante

PG^2

Let

G

be the centroid and express the sum using

PG^2

Pista grande:

Para un triángulo equilátero, la suma es

3PG^2+s^2

For an equilateral triangle, the sum equals

3PG^2+s^2

Solución:

Para los vértices

A,

B,

y

C

con centroide

G,

sea

T=GA^2+GB^2+GC^2.

La identidad del centroide da

PA^2+PB^2+PC^2=3PG^2+T.

En un triángulo equilátero, cada

GA=\frac{s}{\sqrt3},

así que

T=s^2.

Por tanto,

3PG^2=a-s^2.

El lugar geométrico es vacío para

a\lt s^2,

consta de un punto para

a=s^2,

y es un círculo de radio positivo para

a\gt s^2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For vertices

A,

B,

and

C

with centroid

G,

put

T=GA^2+GB^2+GC^2.

The standard centroid identity gives

PA^2+PB^2+PC^2=3PG^2+T.

In an equilateral triangle, each

GA=\frac{s}{\sqrt3},

so

T=s^2.

Hence

3PG^2=a-s^2.

The locus is empty for

a\lt s^2,

one point for

a=s^2,

and a circle of positive radius for

a\gt s^2.

Therefore, the correct answer is A.