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1976 AMC 12 第 27 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

27.

若

\begin{aligned} N&=\frac{\sqrt{\sqrt5+2}+\sqrt{\sqrt5-2}} {\sqrt{\sqrt5+1}}\\ &\quad-\sqrt{3-2\sqrt2} \end{aligned}\text{，}

则

N

等于

If

\begin{aligned} N&=\frac{\sqrt{\sqrt5+2}+\sqrt{\sqrt5-2}} {\sqrt{\sqrt5+1}}\\ &\quad-\sqrt{3-2\sqrt2}, \end{aligned}

then

N

equals

1

2\sqrt2-1

\frac{\sqrt5}{2}

\sqrt{\frac52}

以上都不是

none of these

答案：A

知识点：根式分母有理化代数变形

难度评级：2080

小提示：

先把大分数的分子平方，再进行化简

Square the numerator of the large fraction before simplifying it

大提示：

识别出

3-2\sqrt2

是

(\sqrt2-1)^2

Recognize

3-2\sqrt2

as

(\sqrt2-1)^2

解答：

设

T

为第一个分数。它的分子平方为

\begin{aligned} &(\sqrt5+2)+(\sqrt5-2)\\ &\quad+2\sqrt{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}\\ &=2\sqrt5+2 \end{aligned}\text{。}

因此

T^2=\frac{2\sqrt5+2}{\sqrt5+1}=2

，且

T=\sqrt2

。另外，

\sqrt{3-2\sqrt2}=\sqrt2-1

。所以

N=\sqrt2-(\sqrt2-1)=1

。

所以正确答案是 A。

Let

T

be the first fraction. Its numerator squared is

\begin{aligned} &(\sqrt5+2)+(\sqrt5-2)\\ &\quad+2\sqrt{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}\\ &=2\sqrt5+2. \end{aligned}

Thus

T^2=\frac{2\sqrt5+2}{\sqrt5+1}=2,

and

T=\sqrt2.

Also

\sqrt{3-2\sqrt2}=\sqrt2-1.

Hence

N=\sqrt2-(\sqrt2-1)=1.

Therefore, the correct answer is A.