1979 AMC 12 第 11 题

Question

求下列方程的一个正整数解：

\frac{\substack{1+3+5+\cdots\\{}+(2n-1)}} {\substack{2+4+6+\cdots\\{}+2n}}=\frac{115}{116}\text{。}

Find a positive integral solution to the equation

\frac{\substack{1+3+5+\cdots\\{}+(2n-1)}} {\substack{2+4+6+\cdots\\{}+2n}}=\frac{115}{116}.

110

115

116

231

这个方程没有正整数解。

The equation has no positive integral solutions.

使用前

n

个正奇数之和与前

n

个正偶数之和

Use the sums of the first

n

odd and first

n

even positive integers

这个分数可化简为

\frac{n}{n+1}

The fraction simplifies to

\frac{n}{n+1}

分子为

n^2

，分母为

n(n+1)

。因而

\frac{n}{n+1}=\frac{115}{116}\text{，}

即

116n=115n+115

，所以

n=115

。

因此，正确答案是 B。

The numerator is

n^2,

and the denominator is

n(n+1).

Thus

\frac{n}{n+1}=\frac{115}{116},

which gives

116n=115n+115,

so

n=115.

Therefore, the correct answer is B.

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