1980 AMC 12 Problema 22

Question

Para cada número real

x,

sea

f(x)

el mínimo de los números

4x+1,

x+2,

y

-2x+4.

Entonces el valor máximo de

f(x)

es

For each real number

x,

let

f(x)

be the minimum of the numbers

4x+1,

x+2,

and

-2x+4.

Then the maximum value of

f(x)

is

\frac13

\frac12

\frac23

\frac52

\frac83

Respuesta: E

Conceptos:función optimización ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Traza las tres rectas y sigue su envolvente inferior

Sketch the three lines and follow their lower envelope

Pista grande:

El máximo ocurre donde la recta creciente activa se encuentra con la recta decreciente

The maximum occurs where the active increasing line meets the decreasing line

Solución:

La envolvente inferior es

4x+1

hasta que se encuentra con

x+2

en

x=\frac{1}{3},

luego es

x+2

hasta que esa recta se encuentra con

-2x+4

en

x=\frac{2}{3},

y después es

-2x+4.

Por tanto, su máximo ocurre en

x=\frac{2}{3}

y es

\frac23+2=\frac83.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The lower envelope is

4x+1

until it meets

x+2

at

x=\frac{1}{3},

then is

x+2

until that line meets

-2x+4

at

x=\frac{2}{3},

and thereafter is

-2x+4.

Thus its maximum occurs at

x=\frac{2}{3}

and equals

\frac23+2=\frac83.

Therefore, the correct answer is E.