1981 AMC 12 第 21 题

Question

一个三角形的三边长为

a

、

b

、

c

，并满足

(a+b+c)(a+b-c)=3ab\text{。}

则边长为

c

的边所对角的度数为

In a triangle with sides of lengths

a,

b,

and

c,

(a+b+c)(a+b-c)=3ab.

The measure of the angle opposite the side of length

c

is

15^\circ

30^\circ

45^\circ

60^\circ

150^\circ

将左边展开为平方差

Expand the left side as a difference of squares

把所得的

c^2

表达式与余弦定理比较

Compare the resulting expression for

c^2

with the law of cosines

已知条件给出

(a+b)^2-c^2=3ab

，所以

c^2=a^2+b^2-ab\text{。}

若

\theta

是边

c

所对的角，则余弦定理给出

c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta

。因此

2ab\cos\theta=ab

，所以

\cos\theta=\frac{1}{2}

，且

\theta=60^\circ

。

所以正确答案是 D。

The condition gives

(a+b)^2-c^2=3ab,

so

c^2=a^2+b^2-ab.

If

\theta

is opposite

c,

the law of cosines says

c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta.

Therefore

2ab\cos\theta=ab,

so

\cos\theta=\frac{1}{2}

and

\theta=60^\circ.

Therefore, the correct answer is D.

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