1982 AMC 12 第 27 题

Question

设

z=a+bi

是多项式方程

\begin{aligned} c_4z^4+ic_3z^3+c_2z^2\\ {}+ic_1z+c_0=0 \end{aligned}

的一个解，其中

c_0

、

c_1

、

c_2

、

c_3

、

c_4

、

a

和

b

为实常数，且

i^2=-1

。下列哪一项也必定是该方程的解？

Suppose

z=a+bi

is a solution of the polynomial equation

\begin{aligned} c_4z^4+ic_3z^3+c_2z^2\\ {}+ic_1z+c_0=0, \end{aligned}

where

c_0,

c_1,

c_2,

c_3,

c_4,

a,

and

b

are real constants and

i^2=-1.

Which one of the following must also be a solution?

-a-bi

a-bi

-a+bi

b+ai

以上都不是

none of these

答案：C

知识点：复数对称性（代数）多项式

难度评级：2090

小提示：

对整个方程取共轭

Conjugate the entire equation

大提示：

比较以

\bar z

表示的共轭方程与原多项式在

-\bar z

处的值

Compare the conjugated equation at

\bar z

with the original polynomial evaluated at

-\bar z

解答：

对方程取共轭后，每个

i

都变为

-i

，且

z

变为

\bar z

。由于自变量取相反数时，奇次幂项也会改变符号，所以这个共轭方程恰好就是原多项式在

-\bar z

处取值为零。因此

-\bar z=-a+bi

必定是一个根。

因此，正确答案为 C。

Conjugating the equation changes each

i

to

-i

and

z

to

\bar z.

Because the odd-powered terms also change sign when the input is negated, this conjugated equation is precisely the original polynomial evaluated at

-\bar z.

Thus

-\bar z=-a+bi

must be a root.

Therefore, the correct answer is C.

1982 AMC 12 第 27 题

答案：C

难度评级：2090

小提示：

大提示：

解答：

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