1983 AMC 12 第 22 题

Question

考虑两个函数

\begin{aligned} f(x)&=x^2+2bx+1,\\ g(x)&=2a(x+b) \end{aligned}\text{，}

其中变量

x

以及常数

a

和

b

都是实数。每一对这样的常数

a

和

b

都可以看作

ab

平面内的一点

(a,b)

。令

S

为所有这类点

(a,b)

的集合，使得

y=f(x)

与

y=g(x)

的图像在

xy

平面内不相交。则

S

的面积为

Consider the two functions

\begin{aligned} f(x)&=x^2+2bx+1,\\ g(x)&=2a(x+b), \end{aligned}

where the variable

x

and the constants

a

and

b

are real numbers. Each such pair of constants

a

and

b

may be considered as a point

(a,b)

in an

ab

-plane. Let

S

be the set of such points

(a,b)

for which the graphs of

y=f(x)

and

y=g(x)

do not intersect (in the

xy

-plane). The area of

S

is

1

\pi

4

4\pi

无穷大

infinite

答案：B

知识点：二次方程圆面积不等式

难度评级：2230

小提示：

令

f(x)=g(x)

，并要求所得二次方程没有实根

Set

f(x)=g(x)

and require the resulting quadratic to have no real roots

大提示：

将判别式为负的条件化简为关于

a

和

b

的条件

Simplify the negative-discriminant condition in terms of

a

and

b

解答：

交点对应于方程的实根：

x^2+2(b-a)x+(1-2ab)=0\text{。}

没有实根当且仅当其判别式为负：

\begin{aligned} &4(b-a)^2-4(1-2ab)\\ &=4(a^2+b^2-1)\\ &\lt0 \end{aligned}\text{。}

因此

S

是

ab

平面内单位圆的内部，面积为

\pi

。

所以正确答案是 B。

Intersections correspond to roots of

x^2+2(b-a)x+(1-2ab)=0.

There are no real roots exactly when its discriminant is negative:

\begin{aligned} &4(b-a)^2-4(1-2ab)\\ &=4(a^2+b^2-1)\\ &\lt0. \end{aligned}

Thus

S

is the interior of the unit circle in the

ab

-plane, with area

\pi.

Therefore, the correct answer is B.

1983 AMC 12 第 22 题

答案：B

难度评级：2230

小提示：

大提示：

解答：

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