1984 AMC 12 第 24 题

Question

若

a

和

b

为正实数，且下列两个方程

\begin{aligned} x^2+ax+2b&=0,\\ x^2+2bx+a&=0 \end{aligned}

都有实根，则

a+b

的最小可能值为

If

a

and

b

are positive real numbers and each of the equations

\begin{aligned} x^2+ax+2b&=0,\\ x^2+2bx+a&=0 \end{aligned}

has real roots, then the smallest possible value of

a+b

is

2

3

4

5

6

答案：E

知识点：二次方程不等式

难度评级：2240

小提示：

要求两个二次方程的判别式都非负

Require both quadratic discriminants to be nonnegative

大提示：

结合

a^2\ge8b

和

b^2\ge a

，限定

a

和

b

的范围

Combine

a^2\ge8b

and

b^2\ge a

to bound

a

and

b

解答：

两个判别式给出

a^2\ge8b

和

b^2\ge a

。因此

a^4\ge64b^2\ge64a\text{。}

由于

a\gt0

，可得

a\ge4

；进而由

b^2\ge a\ge4

得

b\ge2

。所以

a+b\ge6

。当

a=4,b=2

时取等号，此时两个判别式都为零。

所以正确答案是 E。

The two discriminants give

a^2\ge8b

and

b^2\ge a.

Therefore

a^4\ge64b^2\ge64a.

Since

a\gt0,

this yields

a\ge4,

and then

b^2\ge a\ge4

gives

b\ge2.

Thus

a+b\ge6.

Equality occurs at

a=4,b=2,

for which both discriminants are zero.

Therefore, the correct answer is E.

1984 AMC 12 第 24 题

答案：E

难度评级：2240

小提示：

大提示：

解答：

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