1991 AMC 12 Problema 30

Question

Para cualquier conjunto

S,

sea

|S|

el número de elementos de

S,

y sea

n(S)

el número de subconjuntos de

S,

incluidos el conjunto vacío y el propio

S

. Si

A,

B,

y

C

son conjuntos para los cuales

\begin{gathered} n(A)+n(B)+n(C)\\ {}=n(A\cup B\cup C),\\ |A|=|B|=100, \end{gathered}

entonces ¿cuál es el menor valor posible de

|A\cap B\cap C|

?

For any set

S,

let

|S|

denote the number of elements in

S,

and let

n(S)

be the number of subsets of

S,

including the empty set and the set

S

itself. If

A,

B,

and

C

are sets for which

\begin{gathered} n(A)+n(B)+n(C)\\ {}=n(A\cup B\cup C),\\ |A|=|B|=100, \end{gathered}

then what is the minimum possible value of

|A\cap B\cap C|?

96

97

98

99

100

Respuesta: B

Conceptos:set cardinality subconjuntos powers of two extremal counting

Nivel de dificultad: 2430

Pista pequeña:

Usa

n(S)=2^{|S|}

y determina

|C|

y

|A\cup B\cup C|

Use

n(S)=2^{|S|}

and determine

|C|

and

|A\cup B\cup C|

Pista grande:

Dentro de la unión, cuenta cuántos elementos pueden omitir

A,

B,

y

C

Within the union, count how many elements each of

A,

B,

and

C

can omit

Solución:

Sean

c=|C|

y

u=|A\cup B\cup C|.

Como

n(S)=2^{|S|},

la ecuación se convierte en

2^{101}+2^c=2^u.

Los dos sumandos deben ser iguales, de modo que

c=101

y

u=102.

Dentro de la unión,

A,

B,

y

C

omiten

2,

2,

y

1

elementos. Así, como máximo cinco elementos distintos faltan de la intersección triple, lo que da

|A\cap B\cap C|\ge97.

La igualdad se alcanza haciendo distintas esas omisiones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

c=|C|

and

u=|A\cup B\cup C|.

Since

n(S)=2^{|S|},

the equation becomes

2^{101}+2^c=2^u.

The two summands must be equal, so

c=101

and

u=102.

Within the union,

A,

B,

and

C

omit

2,

2,

and

1

elements. Thus at most five distinct elements are absent from the triple intersection, giving

|A\cap B\cap C|\ge97.

Equality is attained by making those omissions distinct.

Thus the correct answer is B.