1993 AMC 12 第 8 题

Question

设

C_1

和

C_2

是同一平面内两个半径为

1

且互相相切的圆。该平面内有多少个半径为

3

且同时与

C_1

和

C_2

相切的圆？

Let

C_1

and

C_2

be circles of radius

1

that are in the same plane and tangent to each other. How many circles of radius

3

are in this plane and tangent to both

C_1

and

C_2?

2

4

5

6

8

答案：D

知识点：相切圆 circle intersections 分类讨论

难度评级：1780

小提示：

半径为

3

的圆与每个单位圆都可能内切或外切。

A radius-

3

circle can be internally or externally tangent to each unit circle

大提示：

对它的圆心，考察距离对

(4,4)

、

(2,2)

、

(4,2)

和

(2,4)

。

For its center, consider distance pairs

(4,4),

(2,2),

(4,2),

and

(2,4)

解答：

两个相切单位圆的圆心相距

2

个单位。若新圆与单位圆外切，其圆心到单位圆圆心的距离必须为

4

；若内切，则为

2

。距离对

(4,4)

给出两个圆心，

(2,2)

也是如此。混合距离对

(4,2)

和

(2,4)

各给出一个圆心，因为相应的圆心轨迹圆内切。因此共有

2+2+1+1=6

个圆。故正确答案是 D。

Let the centers of the tangent unit circles be

2

units apart. The new center must be

4

units from a unit-circle center for external tangency and

2

units away for internal tangency. The distance pair

(4,4)

gives two centers, as does

(2,2).

Each mixed pair

(4,2)

and

(2,4)

gives one center because the corresponding center-circles are internally tangent. Hence there are

2+2+1+1=6

circles. Thus the correct answer is D.

1993 AMC 12 第 8 题

答案：D

难度评级：1780

小提示：

大提示：

解答：

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