1976 AMC 12 第 8 题

Question

在平面上随机选取一点，其两个直角坐标都是绝对值不超过四的整数，且所有这样的点被选中的概率相同。该点到原点的距离不超过两个单位的概率是多少？

A point in the plane, both of whose rectangular coordinates are integers with absolute value less than or equal to four, is chosen at random, with all such points having an equal probability of being chosen. What is the probability that the distance from the point to the origin is at most two units?

\frac{13}{81}

\frac{15}{81}

\frac{13}{64}

\frac{\pi}{16}

某个有理数的平方

the square of a rational number

答案：A

知识点：格点基本概率圆系统列举

难度评级：1710

小提示：

每个坐标各有

9

种选择

There are

9

choices for each coordinate

大提示：

分别考虑

x=0

、

x=\pm1

、

x=\pm2

，数出满足

x^2+y^2\le4

的整数对

Count integer pairs satisfying

x^2+y^2\le4

by considering

x=0,

x=\pm1,

and

x=\pm2

解答：

9^2=81

个可能的点。到原点距离不超过

2

的点包括原点；四个点

(\pm1,0)

、

(0,\pm1)

；四个点

(\pm1,\pm1)

；以及四个点

(\pm2,0)

、

(0,\pm2)

。因此共有

13

个点符合条件，概率为

\frac{13}{81}

。

所以正确答案是 A。

There are

9^2=81

possible points. Within distance

2

are the origin; the four points

(\pm1,0),

(0,\pm1);

the four points

(\pm1,\pm1);

and the four points

(\pm2,0),

(0,\pm2).

Thus

13

points qualify, for probability

\frac{13}{81}.

Therefore, the correct answer is A.

1976 AMC 12 第 8 题

答案：A

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

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