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1981 AMC 12 第 8 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

8.

对所有正数

x

、

y

、

z

，乘积

\begin{aligned} &(x+y+z)^{-1}\\ &\quad\cdot(x^{-1}+y^{-1}+z^{-1})\\ &\quad\cdot(xy+yz+zx)^{-1}\\ &\quad\cdot\big((xy)^{-1}+(yz)^{-1}+(zx)^{-1}\big) \end{aligned}

等于

For all positive numbers

x,

y,

z,

the product

\begin{aligned} &(x+y+z)^{-1}\\ &\quad\cdot(x^{-1}+y^{-1}+z^{-1})\\ &\quad\cdot(xy+yz+zx)^{-1}\\ &\quad\cdot\big((xy)^{-1}+(yz)^{-1}+(zx)^{-1}\big) \end{aligned}

equals

x^{-2}y^{-2}z^{-2}

x^{-2}+y^{-2}+z^{-2}

(x+y+z)^{-1}

\frac1{xyz}

\frac1{xy+yz+zx}

答案：A

知识点：代数变形分数

难度评级：1630

小提示：

把每个倒数之和通分

Rewrite each sum of reciprocals over a common denominator

大提示：

两个倒数之和分别会产生因子

xy+yz+zx

和

x+y+z

The two reciprocal sums introduce factors

xy+yz+zx

and

x+y+z

解答：

有

x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}

以及

\begin{aligned} &(xy)^{-1}+(yz)^{-1}\\ &\quad+(zx)^{-1} =\frac{x+y+z}{xyz} \end{aligned}\text{。}

所有对称和因子约去后，剩下

\frac{1}{x^2y^2z^2}=x^{-2}y^{-2}z^{-2}

。

所以正确答案是 A。

We have

x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}

and

\begin{aligned} &(xy)^{-1}+(yz)^{-1}\\ &\quad+(zx)^{-1} =\frac{x+y+z}{xyz}. \end{aligned}

All symmetric sum factors cancel, leaving

\frac{1}{x^2y^2z^2}=x^{-2}y^{-2}z^{-2}.

Therefore, the correct answer is A.

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