1995 AMC 12 第 24 题

Question

存在正整数

A

、

B

、

C

，它们没有大于

1

的公因数，并且

A\log_{200}5+B\log_{200}2=C\text{。}

求

A+B+C

。

There exist positive integers

A,

B,

and

C,

with no common factor greater than

1,

such that

A\log_{200}5+B\log_{200}2=C.

What is

A+B+C?

6

7

8

9

10

将左边合并为一个对数

Combine the left side into one logarithm

利用

200=2^3\cdot5^2

，并比较各质因数的指数

Use

200=2^3\cdot5^2

and compare prime exponents

合并对数得

\log_{200}(5^A2^B)=C\text{，}

所以

5^A2^B=200^C=5^{2C}2^{3C}

。因此

A=2C

，且

B=3C

。没有公因数的正整数三元组为

(A,B,C)=(2,3,1)

，其和为

6

。所以正确答案是 A。

Combining logarithms gives

\log_{200}(5^A2^B)=C,

so

5^A2^B=200^C=5^{2C}2^{3C}.

Hence

A=2C

and

B=3C.

The relatively prime positive triple is

(A,B,C)=(2,3,1),

whose sum is

6.

Thus the correct answer is A.

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