1995 AMC 12 Problema 30

Question

Se forma un cubo grande apilando

27

cubos unitarios. Un plano es perpendicular a una de las diagonales espaciales del cubo grande y biseca esa diagonal. El número de cubos unitarios que interseca el plano es

A large cube is formed by stacking

27

unit cubes. A plane is perpendicular to one of the internal diagonals of the large cube and bisects that diagonal. The number of unit cubes that the plane intersects is

16

17

18

19

20

Respuesta: D

Conceptos:three-dimensional coordinates funciones generatrices

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

Modela el cubo grande como

[0,3]^3

y escribe el plano que pasa por su centro y es perpendicular a la diagonal

Model the large cube as

[0,3]^3

and write the plane through its center perpendicular to the diagonal

Pista grande:

Clasifica cada cubo unitario por su valor mínimo de

x+y+z

y determina qué sumas permiten una intersección

Index each unit cube by its minimum value of

x+y+z

and determine which index sums allow an intersection

Solución:

Toma el cubo grande como

[0,3]^3.

El plano es

x+y+z=\frac{9}{2}.

Un cubo unitario con esquina inferior

(i,j,k),

donde

i,j,k\in\{0,1,2\},

contiene valores de

x+y+z

desde

s=i+j+k

hasta

s+3.

Interseca el plano exactamente cuando

s=2,

s=3,

o

s=4.

Los coeficientes de

x^2,

x^3,

x^4

en

(1+x+x^2)^3

son

6,

7,

6.

Así, el plano interseca

6+7+6=19

cubos unitarios, y la respuesta correcta es D.

Take the large cube as

[0,3]^3.

The plane is

x+y+z=\frac{9}{2}.

A unit cube with lower corner

(i,j,k),

where

i,j,k\in\{0,1,2\},

contains values of

x+y+z

from

s=i+j+k

to

s+3.

It intersects the plane exactly when

s=2,

s=3,

or

s=4.

The coefficients of

x^2,

x^3,

x^4

in

(1+x+x^2)^3

are

6,

7,

6.

Thus the plane intersects

6+7+6=19

unit cubes, and the correct answer is D.