1996 AMC 12 Problema 30

Question

Un hexágono inscrito en un círculo tiene tres lados consecutivos de longitud

3

cada uno y otros tres lados consecutivos de longitud

5

cada uno. La cuerda que divide el hexágono en dos trapecios, uno con tres lados de longitud

3

cada uno y el otro con tres lados de longitud

5

cada uno, tiene longitud

\frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos coprimos. Halla

m+n.

A hexagon inscribed in a circle has three consecutive sides each of length

3

and three consecutive sides each of length

5.

The chord of the circle that divides the hexagon into two trapezoids, one with three sides each of length

3

and the other with three sides each of length

5,

has length equal to

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m+n.

309

349

369

389

409

Respuesta: E

Conceptos:cyclic polygons trigonometría triple-angle identities

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

Sean

\alpha

y

\beta

los semiángulos centrales subtendidos por los lados de longitudes

3

y

5

Let

\alpha

and

\beta

be the half-central angles subtended by sides

3

and

5

Pista grande:

Usa

\alpha+\beta=60^\circ

y la razón de las cuerdas para hallar

\sin^2\alpha

, y luego aplica

\frac{\sin3\alpha}{\sin\alpha}

Use

\alpha+\beta=60^\circ

and the chord ratio to find

\sin^2\alpha

, then apply

\frac{\sin3\alpha}{\sin\alpha}

Solución:

Sea

R

el radio del círculo, y sean

\alpha,\beta

los semiángulos centrales correspondientes a los lados

3,5.

Entonces

3=2R\sin\alpha,

5=2R\sin\beta,

y

\alpha+\beta=60^\circ.

Por tanto,

\frac53=\frac{\sin(60^\circ-\alpha)}{\sin\alpha}

=\frac{\sqrt3}{2}\cot\alpha-\frac12,

de modo que

\tan\alpha=\frac{3\sqrt3}{13}

y

\sin^2\alpha=\frac{27}{196}.

La cuerda divisoria abarca los tres lados consecutivos de longitud

3,

así que

\frac L3=\frac{\sin3\alpha}{\sin\alpha}

=3-4\sin^2\alpha=3-\frac{27}{49}=\frac{120}{49}.

Por consiguiente,

L=\frac{360}{49},

de modo que

m+n=409.

La respuesta correcta es E.

Let the circle have radius

R,

and let

\alpha,\beta

be the half-central angles for the sides

3,5.

Then

3=2R\sin\alpha,

5=2R\sin\beta,

and

\alpha+\beta=60^\circ.

Thus

\frac53=\frac{\sin(60^\circ-\alpha)}{\sin\alpha}

=\frac{\sqrt3}{2}\cot\alpha-\frac12,

so

\tan\alpha=\frac{3\sqrt3}{13}

and

\sin^2\alpha=\frac{27}{196}.

The dividing chord spans the three consecutive sides of length

3,

so

\frac L3=\frac{\sin3\alpha}{\sin\alpha}

=3-4\sin^2\alpha=3-\frac{27}{49}=\frac{120}{49}.

Therefore

L=\frac{360}{49},

so

m+n=409.

The correct answer is E.