1964 AMC 12 Problema 18

Question

Sea

n

el número de pares de valores de

b

y

c

tales que

3x+by+c=0

y

cx-2y+12=0

tienen la misma gráfica. Entonces

n

es:

Let

n

be the number of pairs of values of

b

and

c

such that

3x+by+c=0

and

cx-2y+12=0

have the same graph. Then

n

is:

0

1

2

finito, pero mayor que

2

finite but more than

2

mayor que cualquier número finito

greater than any finite number

Respuesta: C

Conceptos:sistema de ecuaciones pendiente deducción lógica

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Las ecuaciones de rectas coincidentes tienen ternas de coeficientes proporcionales

Coincident line equations have proportional coefficient triples

Pista grande:

Plantea

(c,-2,12)=k(3,b,c)

y usa las coordenadas primera y tercera

Set

(c,-2,12)=k(3,b,c)

and use the first and third coordinates

Solución:

Para que tengan la misma gráfica,

(c,-2,12)=k(3,b,c).

Así,

c=3k

y

12=kc=3k^2,

por lo que

k=\pm2.

Cada valor determina un par mediante

b=-\frac{2}{k}

y

c=3k.

Por tanto, hay dos pares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For the same graph,

(c,-2,12)=k(3,b,c).

Thus

c=3k

and

12=kc=3k^2,

so

k=\pm2.

Each value determines one pair through

b=-\frac{2}{k}

and

c=3k.

Hence there are two pairs.

Therefore, the correct answer is C.