1969 AMC 12 Problema 17

Question

La ecuación

2^{2x}-8\cdot2^x+12=0

se satisface para:

The equation

2^{2x}-8\cdot2^x+12=0

is satisfied by:

\log 3

\dfrac12\log 6

1+\log\dfrac34

1+\dfrac{\log3}{\log2}

ninguna de las anteriores

none of these

Sea

t=2^x

y resuelve una cuadrática en

t

Let

t=2^x

and solve a quadratic in

t

Una raíz es

t=6

; toma logaritmos en base

2

One root is

t=6

; take logarithms base

2

Sea

t=2^x.

Entonces,

\begin{aligned} t^2-8t+12&=0,\\ (t-2)(t-6)&=0. \end{aligned}

La raíz

t=6

da

\begin{aligned} x&=\log_2 6\\ &=1+\log_2 3\\ &=1+\frac{\log3}{\log2}. \end{aligned}

(La ecuación también se satisface con

x=1,

que no aparece entre las opciones).

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Set

t=2^x.

Then

\begin{aligned} t^2-8t+12&=0,\\ (t-2)(t-6)&=0. \end{aligned}

The root

t=6

gives

\begin{aligned} x&=\log_2 6\\ &=1+\log_2 3\\ &=1+\frac{\log3}{\log2}. \end{aligned}

(The equation is also satisfied by

x=1,

which is not a listed choice.)

Therefore, the correct answer is D.

El Problema 17 en otros años