1969 AMC 12 Problema 5

Question

Si un número

N,

N\ne0,

disminuido en cuatro veces su recíproco es igual a una constante real dada

R,

entonces, para esa

R,

la suma de todos los valores posibles de

N

es:

If a number

N,

N\ne0,

diminished by four times its reciprocal, equals a given real constant

R,

then, for this given

R,

the sum of all such possible values of

N

is:

\dfrac1R

R

4

\dfrac14

-R

Reescribe

N-\frac{4}{N}=R

como una cuadrática en

N

Rewrite

N-\frac{4}{N}=R

as a quadratic in

N

Usa la suma de las raíces de esa cuadrática

Use the sum of the roots of that quadratic

Al multiplicar

N-\frac{4}{N}=R

por

N

se obtiene

N^2-RN-4=0.

Por las fórmulas de Vieta, la suma de sus dos raíces es

R

. Ambas son distintas de cero porque su producto es

-4.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Multiplying

N-\frac{4}{N}=R

by

N

gives

N^2-RN-4=0.

The sum of its two roots is

R

by Vieta’s formulas. Both roots are nonzero because their product is

-4.

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 5 en otros años