1971 AMC 12 Problema 5

Question

Los puntos

A,

B,

Q,

D,

y

C

están en la circunferencia mostrada, y las medidas de los arcos

BQ

y

QD

son

42^\circ

y

38^\circ,

respectivamente. La suma de las medidas de los ángulos

P

y

Q

es:

Points

A,

B,

Q,

D,

and

C

lie on the circle shown, and the measures of arcs

BQ

and

QD

are

42^\circ

and

38^\circ,

respectively. The sum of the measures of angles

P

and

Q

is:

80^\circ

62^\circ

40^\circ

46^\circ

Ninguna de estas

None of these

Respuesta: C

Conceptos:círculo ángulo inscrito arco persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Usa la fórmula del ángulo exterior formado por dos secantes para el ángulo

P

Use the external-secant formula for angle

P

Pista grande:

Al sumar el ángulo

Q

, se cancela el arco interceptado desconocido

Adding angle

Q

cancels the unknown intercepted arc

Solución:

Sea

m\overset{\frown}{AC}=u.

La fórmula del ángulo exterior formado por dos secantes da

m\angle P=\frac12\left(m\overset{\frown}{BD}-u\right),

mientras que el teorema del ángulo inscrito da

m\angle Q=\frac{u}{2}.

Por lo tanto,

\begin{aligned} m\angle P+m\angle Q &=\frac12m\overset{\frown}{BD}\\ &=\frac12(42^\circ+38^\circ)\\ &=40^\circ. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

m\overset{\frown}{AC}=u.

The external-secant formula gives

m\angle P=\frac12\left(m\overset{\frown}{BD}-u\right),

while the inscribed-angle theorem gives

m\angle Q=\frac{u}{2}.

Therefore

\begin{aligned} m\angle P+m\angle Q &=\frac12m\overset{\frown}{BD}\\ &=\frac12(42^\circ+38^\circ)\\ &=40^\circ. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is C.