1975 AMC 12 Problema 27

Question

Si

p,

q,

y

r

son raíces distintas de

x^3-x^2+x-2=0,

entonces

p^3+q^3+r^3

es igual a

If

p,

q,

and

r

are distinct roots of

x^3-x^2+x-2=0,

then

p^3+q^3+r^3

equals

-1

1

3

5

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: E

Conceptos:polinomio Fórmulas de Vieta Sumas de Newton

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Usa las fórmulas de Vieta para hallar

p+q+r

y

pq+pr+qr

Use Vieta to find

p+q+r

and

pq+pr+qr

Pista grande:

Primero calcula

p^2+q^2+r^2,

y después suma las tres ecuaciones que satisfacen las raíces

First compute

p^2+q^2+r^2,

then add the three equations satisfied by the roots

Solución:

Las fórmulas de Vieta dan

p+q+r=1

y

pq+pr+qr=1.

Por tanto,

\begin{aligned} p^2+q^2+r^2 &=(p+q+r)^2\\ &\quad-2(pq+pr+qr)\\ &=-1. \end{aligned}

Cada raíz

t

satisface

t^3=t^2-t+2.

Al sumar para las tres raíces se obtiene

p^3+q^3+r^3=-1-1+6=4.

Este valor no aparece entre las opciones A–D.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Vieta gives

p+q+r=1

and

pq+pr+qr=1.

Thus

\begin{aligned} p^2+q^2+r^2 &=(p+q+r)^2\\ &\quad-2(pq+pr+qr)\\ &=-1. \end{aligned}

Each root

t

satisfies

t^3=t^2-t+2.

Summing over the three roots yields

p^3+q^3+r^3=-1-1+6=4.

This is not among choices A–D.

Therefore, the correct answer is E.