1975 AMC 12 Problema 5

Question

El polinomio

(x+y)^9

se desarrolla en potencias decrecientes de

x.

El segundo y el tercer término tienen el mismo valor al evaluarlos en

x=p

y

y=q,

donde

p

y

q

son números positivos cuya suma es uno. ¿Cuál es el valor de

p

?

The polynomial

(x+y)^9

is expanded in decreasing powers of

x.

The second and third terms have equal values when evaluated at

x=p

and

y=q,

where

p

and

q

are positive numbers whose sum is one. What is the value of

p?

\frac15

\frac45

\frac14

\frac34

\frac89

Respuesta: B

Conceptos:teorema del binomio ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Escribe explícitamente el segundo y el tercer término del desarrollo binomial

Write the second and third binomial terms explicitly

Pista grande:

Tras cancelar los factores positivos comunes, combina

p=4q

con

p+q=1

After canceling common positive factors, combine

p=4q

with

p+q=1

Solución:

Los términos son

9p^8q

y

36p^7q^2.

Su igualdad, junto con

p,q\gt0,

da

p=4q.

Como

p+q=1,

obtenemos

5q=1

y

p=\frac{4}{5}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The terms are

9p^8q

and

36p^7q^2.

Their equality, with

p,q\gt0,

gives

p=4q.

Since

p+q=1,

we get

5q=1

and

p=\frac{4}{5}.

Therefore, the correct answer is B.