1982 AMC 12 Problema 17

Intenta el Problema 17 del 1982 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1982 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

17.

¿Cuántos números reales

x

satisfacen la ecuación

3^{2x+2}-3^{x+3}-3^x+3=0

How many real numbers

x

satisfy the equation

3^{2x+2}-3^{x+3}-3^x+3=0?

0

1

2

3

4

Sustituye

t=3^x,

teniendo en cuenta que

t\gt0

Substitute

t=3^x,

noting that

t\gt0

La ecuación se convierte en una cuadrática en

t

The equation becomes a quadratic in

t

Sea

t=3^x\gt0.

Entonces

9t^2-28t+3=0,

cuyas raíces son

t=3

t=\frac{1}{9}.

Ambas son positivas y cada una corresponde a un único número real

x,

así que hay

2

soluciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

t=3^x\gt0.

Then

9t^2-28t+3=0,

whose roots are

t=3

and

t=\frac{1}{9}.

Both are positive and each corresponds to one real

x,

so there are

2

solutions.

Therefore, the correct answer is C.

El Problema 17 en otros años