1982 AMC 12 Problema 16

Question

En la figura adjunta, un cubo de madera tiene aristas de

3

metros. En cada cara se abre un agujero cuadrado de un metro de lado, centrado en ella, que atraviesa el cubo hasta la cara opuesta. Los lados de los agujeros son paralelos a las aristas del cubo. El área total de la superficie, incluido el interior de los agujeros, en metros cuadrados, es

In the adjoining figure, a wooden cube has edges of length

3

meters. Square holes of side one meter, centered in each face, are cut through to the opposite face. The edges of the holes are parallel to the edges of the cube. The entire surface area including the inside, in square meters, is

54

72

76

84

86

Respuesta: B

Conceptos:área de superficie geometría del cubo Geometría 3D

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Empieza con las caras exteriores después de quitar sus cuadrados centrales

Start with the outer faces after removing their central squares

Pista grande:

Para cada uno de los tres túneles, calcula la parte de sus cuatro paredes interiores que no eliminan los túneles perpendiculares

For each of the three tunnels, count the four interior walls not removed by the crossing tunnels

Solución:

Las seis caras exteriores aportan

6(3^2-1^2)=48.

Cada uno de los tres túneles cuadrados de longitud

3

tiene cuatro paredes interiores, pero un túnel perpendicular quita la franja central de ancho unitario de cada pared, de modo que queda un área de

2

por pared. Así, el interior aporta

3\cdot4\cdot2=24.

El total es

48+24=72.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The six outer faces contribute

6(3^2-1^2)=48.

Each of the three length-

3

square tunnels has four inner walls, but the central unit segment of every wall is removed by a perpendicular tunnel, leaving area

2

per wall. Thus the inside contributes

3\cdot4\cdot2=24.

The total is

48+24=72.

Therefore, the correct answer is B.