1983 AMC 12 Problema 16

Question

Sea

\begin{aligned} x&=0.123456789101112\\ &\phantom{={}}\ldots998999, \end{aligned}

donde los dígitos se obtienen escribiendo en orden los enteros del

1

al

999.

El dígito número

1983

a la derecha del punto decimal es

Let

\begin{aligned} x&=0.123456789101112\\ &\phantom{={}}\ldots998999, \end{aligned}

where the digits are obtained by writing the integers

1

through

999

in order. The

1983

rd digit to the right of the decimal point is

2

3

5

7

8

Cuenta primero los dígitos aportados por los enteros de una y de dos cifras

First count the digits contributed by the one- and two-digit integers

Después de

189

dígitos, ubica la posición restante entre los enteros de tres cifras

After

189

digits, locate the remaining position within the three-digit integers

Los enteros de una cifra aportan

9

dígitos y los de dos cifras aportan

90\cdot2=180,

para un total de

189

. Por tanto, el dígito buscado es el número

1983-189=1794

entre los dígitos de los enteros de tres cifras. Como

1794=598\cdot3,

es el último dígito del

598

º entero de tres cifras, a saber,

100+597=697.

Ese dígito es

7.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The one-digit integers contribute

9

digits and the two-digit integers contribute

90\cdot2=180,

for

189

total. Thus the desired digit is the

1983-189=1794

th digit among the three-digit integers. Since

1794=598\cdot3,

it is the last digit of the

598

th three-digit integer, namely

100+597=697.

That digit is

7.

Therefore, the correct answer is D.

El Problema 16 en otros años