1998 AMC 12 Problema 19

Question

¿Cuántos triángulos tienen área

10

y vértices en

(-5,0),

(5,0),

y

(5\cos\theta,5\sin\theta)

para algún ángulo

\theta

?

How many triangles have area

10

and vertices at

(-5,0),

(5,0),

and

(5\cos\theta,5\sin\theta)

for some angle

\theta?

0

2

4

6

8

La base fija mide

10

, y la altura del tercer vértice es

|5\sin\theta|

The fixed base has length

10

, and the third vertex has height

|5\sin\theta|

Cuenta los puntos distintos del círculo que satisfacen la ecuación trigonométrica resultante

Count the distinct points on the circle satisfying the resulting sine equation

El área es

\frac12(10)|5\sin\theta|=25|\sin\theta|.

Por tanto,

|\sin\theta|=\frac{2}{5}.

Hay cuatro puntos correspondientes en el círculo, cada uno de los cuales produce un triángulo distinto. Así, la respuesta es

4,

y la respuesta correcta es C.

The area is

\frac12(10)|5\sin\theta|=25|\sin\theta|.

Thus

|\sin\theta|=\frac{2}{5}.

There are four corresponding points on the circle, and each gives a distinct triangle. Hence the answer is

4,

making C correct.

El Problema 19 en otros años