1973 AMC 12 Problema 19

Question

Para

n

y

a

positivos, define

n_a!

como

\begin{aligned} n_a!={}&n(n-a)(n-2a)\\ &\cdot(n-3a)\cdots(n-ka), \end{aligned}

donde

k

es el mayor entero para el cual

n\gt ka.

Entonces, el cociente

\frac{72_8!}{18_2!}

es igual a

Define

n_a!

for positive

n

and

a

to be

\begin{aligned} n_a!={}&n(n-a)(n-2a)\\ &\cdot(n-3a)\cdots(n-ka), \end{aligned}

where

k

is the greatest integer for which

n\gt ka.

Then the quotient

\frac{72_8!}{18_2!}

is equal to

4^5

4^6

4^8

4^9

4^{12}

Escribe ambos factoriales generalizados como nueve factores explícitos

Write both generalized factorials as nine explicit factors

Extrae

8

de cada término del numerador y

2

de cada término del denominador

Factor

8

from every numerator term and

2

from every denominator term

Los dos productos son

\begin{aligned} 72_8!&=72\cdot64\cdots8 =8^9(9!),\\ 18_2!&=18\cdot16\cdots2 =2^9(9!). \end{aligned}

Por lo tanto, su cociente es

\frac{8^9(9!)}{2^9(9!)}=4^9.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The two products are

\begin{aligned} 72_8!&=72\cdot64\cdots8 =8^9(9!),\\ 18_2!&=18\cdot16\cdots2 =2^9(9!). \end{aligned}

Their quotient is therefore

\frac{8^9(9!)}{2^9(9!)}=4^9.

Therefore, the correct answer is D.

El Problema 19 en otros años