1954 AMC 12 Problema 19

Question

Si se unen los tres puntos de tangencia del círculo inscrito en un triángulo, los ángulos del triángulo resultante:

If the three points of contact of a circle inscribed in a triangle are joined, the angles of the resulting triangle:

siempre son iguales a

60^\circ

are always equal to

60^\circ

siempre son un ángulo obtuso y dos ángulos agudos desiguales

are always one obtuse angle and two unequal acute angles

siempre son un ángulo obtuso y dos ángulos agudos iguales

are always one obtuse angle and two equal acute angles

siempre son ángulos agudos

are always acute angles

siempre son desiguales entre sí

are always unequal to each other

Une el incentro con dos puntos de tangencia adyacentes

Join the incenter to two adjacent points of tangency

El ángulo del triángulo de contacto opuesto al ángulo

A

del triángulo original es

90^\circ-\frac{A}{2}

The angle of the contact triangle opposite vertex angle

A

is

90^\circ-\frac{A}{2}

Los radios trazados a dos puntos de tangencia adyacentes son perpendiculares a los lados correspondientes. El ángulo central entre esos radios es

180^\circ-A.

El ángulo correspondiente del triángulo de contacto es la mitad del arco que intercepta, y resulta

90^\circ-\frac A2.

Los otros dos ángulos son

90^\circ-\frac{B}{2}

y

90^\circ-\frac{C}{2}.

Como todo ángulo de un triángulo está estrictamente entre

0^\circ

y

180^\circ,

los tres son agudos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The radii to two adjacent tangency points are perpendicular to the corresponding sides. The central angle between those radii is

180^\circ-A.

The relevant angle of the contact triangle is half the intercepted arc, giving

90^\circ-\frac A2.

The other two angles are

90^\circ-\frac{B}{2}

and

90^\circ-\frac{C}{2}.

Since every triangle angle lies strictly between

0^\circ

and

180^\circ,

all three are acute.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 19 en otros años