1986 AMC 12 Problema 17
Intenta el Problema 17 del 1986 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1986 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
17.
Un cajón en una habitación oscura contiene calcetines rojos, verdes, azules y negros. Un joven saca calcetines del cajón uno por uno, pero no puede ver su color. ¿Cuál es el menor número de calcetines que debe sacar para garantizar que su selección contenga al menos pares? (Un par está formado por dos calcetines del mismo color. Ningún calcetín puede contarse en más de un par.)
A drawer in a darkened room contains red socks, green socks, blue socks and black socks. A youngster selects socks one at a time from the drawer but is unable to see the color of the socks drawn. What is the smallest number of socks that must be selected to guarantee that the selection contains at least pairs? (A pair of socks is two socks of the same color. No sock may be counted in more than one pair.)
Respuesta: B
Pista pequeña:
Para cada color, a lo sumo uno de los calcetines seleccionados puede quedar sin pareja
For each color, at most one selected sock can remain unpaired
Pista grande:
Usa la paridad del total para mejorar la cota de cuatro calcetines sin pareja y luego construye un caso que casi alcance la garantía
Use the parity of the total to sharpen the four-unpaired bound, then construct a near-miss
Solución:
Con calcetines seleccionados, el número de colores que aparecen una cantidad impar de veces debe ser impar, por lo que es a lo sumo Así, como máximo calcetines quedan sin pareja y al menos forman pares. Sin embargo, calcetines no bastan: las cantidades de los cuatro colores producen solo pares. Por tanto, el mínimo es
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
With selected socks, the number of colors having an odd count must itself be odd, so it is at most Thus at most socks are unpaired, leaving at least socks in pairs. But socks do not suffice: color counts produce only pairs. Therefore the minimum is
Thus the correct answer is B.
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