1987 AMC 12 Problema 22

Question

Una pelota flotaba en un lago cuando este se congeló. La pelota se retiró sin romper el hielo, dejando un agujero de

24

cm de ancho en la superficie y

8

cm de profundidad. ¿Cuál era el radio de la pelota, en centímetros?

A ball was floating in a lake when the lake froze. The ball was removed (without breaking the ice), leaving a hole

24

cm across at the top and

8

cm deep. What was the radius of the ball (in centimeters)?

8

12

13

8\sqrt3

6\sqrt6

Toma una sección transversal vertical que pase por el centro del agujero circular

Take a vertical cross-section through the center of the circular hole

La semichorda mide

12,

mientras que la distancia del centro al plano del hielo es

r-8

The half-chord is

12,

while the center-to-ice distance is

r-8

En una sección transversal vertical, la mitad del agujero de

24

cm es un segmento de cuerda de longitud

12.

Si el radio de la esfera es

r,

la distancia desde su centro hasta el plano del hielo es

r-8.

El triángulo rectángulo resultante da

(r-8)^2+12^2=r^2.

Al resolver, se obtiene

16r=208,

así que

r=13.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

In a vertical cross-section, half the

24

-cm hole is a chord segment of length

12.

If the sphere radius is

r,

the distance from its center to the ice plane is

r-8.

The resulting right triangle gives

(r-8)^2+12^2=r^2.

Solving yields

16r=208,

so

r=13.

Thus the correct answer is C.

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