1982 AMC 12 Problema 22

Question

En un callejón estrecho de ancho

w,

se coloca una escalera de longitud

a

con el pie en un punto

P

entre las paredes. Al apoyarla contra una pared en

Q,

a una altura

k

sobre el suelo, la escalera forma un ángulo de

45^\circ

con el suelo. Al apoyarla contra la otra pared en

R,

a una altura

h

sobre el suelo, forma un ángulo de

75^\circ

con el suelo. El ancho

w

es igual a

In a narrow alley of width

w

a ladder of length

a

is placed with its foot at a point

P

between the walls. Resting against one wall at

Q,

a distance

k

above the ground, the ladder makes a

45^\circ

angle with the ground. Resting against the other wall at

R,

a distance

h

above the ground, the ladder makes a

75^\circ

angle with the ground. The width

w

is equal to

a

RQ

k

\frac{h+k}{2}

h

Respuesta: E

Conceptos:trigonometría triángulo rectángulo identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Expresa mediante cosenos los dos tramos horizontales del callejón

Express the two horizontal portions of the alley using cosines

Pista grande:

Compara

\cos75^\circ+\cos45^\circ

con

\sin75^\circ

Compare

\cos75^\circ+\cos45^\circ

with

\sin75^\circ

Solución:

Las distancias horizontales de

P

a las paredes son

a\cos75^\circ

y

a\cos45^\circ,

así que

w=a(\cos75^\circ+\cos45^\circ).

La identidad de suma a producto da

\cos75^\circ+\cos45^\circ=\sin75^\circ.

Como

h=a\sin75^\circ,

se tiene

w=h.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The horizontal distances from

P

to the walls are

a\cos75^\circ

and

a\cos45^\circ,

so

w=a(\cos75^\circ+\cos45^\circ).

The sum-to-product identity gives

\cos75^\circ+\cos45^\circ=\sin75^\circ.

Since

h=a\sin75^\circ,

w=h.

Therefore, the correct answer is E.