1963 AMC 12 Problema 22

Question

El triángulo acutángulo

ABC

está inscrito en un círculo con centro

O;

\overset{\frown}{AB}=120^\circ

y

\overset{\frown}{BC}=72^\circ.

Se toma un punto

E

en el arco menor

AC

tal que

OE

es perpendicular a

AC.

Entonces la razón entre las medidas de los ángulos

OBE

y

BAC

es:

Acute-angled triangle

ABC

is inscribed in a circle with center at

O;

\overset{\frown}{AB}=120^\circ

and

\overset{\frown}{BC}=72^\circ.

A point

E

is taken in minor arc

AC

such that

OE

is perpendicular to

AC.

Then the ratio of the magnitudes of angles

OBE

and

BAC

is:

\dfrac5{18}

\dfrac29

\dfrac14

\dfrac13

\dfrac49

Respuesta: D

Conceptos:arco ángulo inscrito triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Halla el arco menor

AC,

y luego usa

OE\perp AC

para situar

E

en su punto medio

Find minor arc

AC,

then use

OE\perp AC

to locate

E

at its midpoint

Pista grande:

Calcula el ángulo central

BOE

y el ángulo inscrito

BAC

Compute the central angle

BOE

and the inscribed angle

BAC

Solución:

El arco menor

AC

mide

360^\circ-120^\circ-72^\circ=168^\circ.

Como

OE\perp AC,

el punto

E

biseca ese arco, por lo que

\angle BOE=72^\circ+84^\circ=156^\circ.

El triángulo isósceles

OBE

da

\angle OBE=12^\circ,

mientras que

\angle BAC=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ.

Su razón es

\frac{1}{3}.

Así, la respuesta correcta es D.

Minor arc

AC

has measure

360^\circ-120^\circ-72^\circ=168^\circ.

Since

OE\perp AC,

E

bisects that arc, so

\angle BOE=72^\circ+84^\circ=156^\circ.

Isosceles triangle

OBE

gives

\angle OBE=12^\circ,

while

\angle BAC=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ.

Their ratio is

\frac{1}{3}.

Thus, the correct answer is D.