1966 AMC 12 Problema 22

Question

Considera las afirmaciones:

\text{(I) }\sqrt{a^2+b^2}=0

\text{(II) }\sqrt{a^2+b^2}=ab

\text{(III) }\sqrt{a^2+b^2}=a+b

\text{(IV) }\sqrt{a^2+b^2}=a-b

donde se permite que

a

y

b

sean números reales o complejos. Las afirmaciones que tienen soluciones distintas de

a=0

y

b=0,

son:

Consider the statements:

\text{(I) }\sqrt{a^2+b^2}=0

\text{(II) }\sqrt{a^2+b^2}=ab

\text{(III) }\sqrt{a^2+b^2}=a+b

\text{(IV) }\sqrt{a^2+b^2}=a-b

where we allow

a

and

b

to be real or complex numbers. Those statements for which there exist solutions other than

a=0

and

b=0,

are:

(\mathrm{I}),

(\mathrm{II}),

(\mathrm{III}),

(\mathrm{IV})

solo

(\mathrm{II}),

(\mathrm{III}),

(\mathrm{IV})

(\mathrm{II}),

(\mathrm{III}),

(\mathrm{IV})

only

solo

(\mathrm{I}),

(\mathrm{III}),

(\mathrm{IV})

(\mathrm{I}),

(\mathrm{III}),

(\mathrm{IV})

only

solo

(\mathrm{III}),

(\mathrm{IV})

(\mathrm{III}),

(\mathrm{IV})

only

solo

(\mathrm{I})

(\mathrm{I})

only

Respuesta: A

Conceptos:número complejo contraejemplo radical

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Basta un ejemplo no nulo para cada afirmación

One nonzero example is enough for each statement

Pista grande:

Prueba

b=i

para

(\mathrm{I}),

valores positivos iguales para

(\mathrm{II}),

y

b=0

para

(\mathrm{III})

y

(\mathrm{IV})

Try

b=i

for

(\mathrm{I}),

equal positive values for

(\mathrm{II}),

and

b=0

for

(\mathrm{III})

and

(\mathrm{IV})

Solución:

Cada afirmación tiene una solución no nula. Para

(\mathrm{I}),

usa

(a,b)=(1,i).

Para

(\mathrm{II}),

usa

a=b=\sqrt2,

lo que da

\sqrt4=2=ab.

Para

(\mathrm{III})

y

(\mathrm{IV}),

usa

(a,b)=(1,0).

Por lo tanto, sirven las cuatro afirmaciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Every statement has a nonzero solution. For

(\mathrm{I}),

use

(a,b)=(1,i).

For

(\mathrm{II}),

use

a=b=\sqrt2,

giving

\sqrt4=2=ab.

For both

(\mathrm{III})

and

(\mathrm{IV}),

use

(a,b)=(1,0).

Thus all four statements qualify.

Therefore, the correct answer is A.

1966 AMC 12 Problema 22

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años