1960 AMC 12 Problema 22

Question

La igualdad

(x+m)^2-(x+n)^2=(m-n)^2,

donde

m

y

n

son constantes no nulas y distintas, se satisface con

x=am+bn

, donde:

The equality

(x+m)^2-(x+n)^2=(m-n)^2,

where

m

and

n

are unequal non-zero constants, is satisfied by

x=am+bn

where:

a=0,

y

b

tiene un único valor no nulo

a=0,

b

has a unique non-zero value

a=0,

y

b

tiene dos valores no nulos

a=0,

b

has two non-zero values

b=0,

y

a

tiene un único valor no nulo

b=0,

a

has a unique non-zero value

b=0,

y

a

tiene dos valores no nulos

b=0,

a

has two non-zero values

a

y

b

tienen cada uno un único valor no nulo

a

and

b

each have a unique non-zero value

Respuesta: A

Conceptos:diferencia de cuadrados ecuación lineal sustitución

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Factoriza la diferencia de los dos cuadrados

Factor the difference of the two squares

Pista grande:

Cancela el factor no nulo

m-n

y despeja

x

Cancel the nonzero factor

m-n

and solve for

x

Solución:

Al factorizar y usar

m\ne n

se obtiene

\begin{gathered} (m-n)(2x+m+n)\\ {}=(m-n)^2. \end{gathered}

Por tanto,

2x+m+n=m-n,

así que

x=-n.

Luego

a=0

y

b=-1,

un único valor no nulo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Factoring and using

m\ne n

gives

\begin{gathered} (m-n)(2x+m+n)\\ {}=(m-n)^2. \end{gathered}

Hence

2x+m+n=m-n,

so

x=-n.

Thus

a=0

and

b=-1,

a unique nonzero value.

Therefore, the correct answer is A.