1970 AMC 12 Problema 22

Question

Si la suma de los primeros

3n

enteros positivos es

150

mayor que la suma de los primeros

n

enteros positivos, entonces la suma de los primeros

4n

enteros positivos es:

If the sum of the first

3n

positive integers is

150

more than the sum of the first

n

positive integers, then the sum of the first

4n

positive integers is:

300

350

400

450

600

Usa

1+2+\cdots+m=\frac{m(m+1)}{2}

Use

1+2+\cdots+m=\frac{m(m+1)}{2}

La diferencia dada se simplifica a

4n^2+n

The given difference simplifies to

4n^2+n

Sea

S_m=\frac{m(m+1)}{2}.

Entonces

\begin{aligned} 2(S_{3n}-S_n) &=3n(3n+1)\\ &\quad{}-n(n+1)\\ &=8n^2+2n. \end{aligned}

Como

S_{3n}-S_n=150,

esto da

4n^2+n=150.

Por tanto,

(n-6)(4n+25)=0,

y la solución positiva es

n=6.

Entonces

S_{4n}=S_{24}=\frac{24\cdot25}{2}=300.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let

S_m=\frac{m(m+1)}{2}.

Then

\begin{aligned} 2(S_{3n}-S_n) &=3n(3n+1)\\ &\quad{}-n(n+1)\\ &=8n^2+2n. \end{aligned}

Since

S_{3n}-S_n=150,

this gives

4n^2+n=150.

Hence

(n-6)(4n+25)=0,

and the positive solution is

n=6.

Therefore

S_{4n}=S_{24}=\frac{24\cdot25}{2}=300.

Therefore, the correct answer is A.

El Problema 22 en otros años