1977 AMC 12 Problema 22

Question

Si

f(x)

es una función real de la variable real

x,

f(x)

no es idénticamente nula y, para todos

a

y

b,

\begin{gathered} f(a+b)+f(a-b)\\ =2f(a)+2f(b), \end{gathered}

entonces, para todos

x

e

y,

If

f(x)

is a real-valued function of the real variable

x,

and

f(x)

is not identically zero, and for all

a

and

b

\begin{gathered} f(a+b)+f(a-b)\\ =2f(a)+2f(b), \end{gathered}

then for all

x

and

y

f(0)=1

f(-x)=-f(x)

f(-x)=f(x)

f(x+y)=f(x)+f(y)

existe un número positivo

T

tal que

f(x+T)=f(x)

there is a positive number

T

such that

f(x+T)=f(x)

Respuesta: C

Conceptos:ecuación funcional función sustitución

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Sustituye primero

a=b=0

First substitute

a=b=0

Pista grande:

Luego toma

a=0

y

b=x

Next set

a=0

and

b=x

Solución:

Al tomar

a=b=0

se obtiene

2f(0)=4f(0),

por lo que

f(0)=0.

Ahora toma

a=0

y

b=x.

La ecuación se convierte en

\begin{aligned} f(x)+f(-x) &=2f(0)+2f(x)\\ &=2f(x), \end{aligned}

y por consiguiente

f(-x)=f(x)

para todo número real

x.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Setting

a=b=0

gives

2f(0)=4f(0),

so

f(0)=0.

Now set

a=0

and

b=x.

The equation becomes

\begin{aligned} f(x)+f(-x) &=2f(0)+2f(x)\\ &=2f(x), \end{aligned}

and hence

f(-x)=f(x)

for every real

x.

Therefore, the correct answer is C.