1991 AMC 12 Problema 22

Question

Dos círculos son tangentes exteriormente. Las rectas

PAB

y

PA'B'

son tangentes comunes, con

A

y

A'

en el círculo menor y

B

y

B'

en el mayor. Si

PA=AB=4,

entonces el área del círculo menor es

Two circles are externally tangent. Lines

PAB

and

PA'B'

are common tangents with

A

and

A'

on the smaller circle and

B

and

B'

on the larger circle. If

PA=AB=4,

then the area of the smaller circle is

1.44\pi

2\pi

2.56\pi

\sqrt8\pi

4\pi

Respuesta: B

Conceptos:circunferencias tangentes homotecia potencia de un punto

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Los dos círculos están relacionados por una homotecia con centro en

P

The two circles are related by a dilation centered at

P

Pista grande:

Usa

PA=4,

PB=8

para hallar la razón de homotecia y luego aplica la relación de la tangente al círculo menor

Use

PA=4,

PB=8

to find the dilation ratio, then apply the tangent-length relation to the smaller circle

Solución:

Como

PA=4

y

AB=4,

tenemos

PB=8.

Por lo tanto, la homotecia con centro en

P

que lleva el círculo menor al mayor tiene razón

2.

Si el radio menor es

r,

su centro está a

3r

de

P:

los centros están sobre el mismo rayo, sus distancias a

P

tienen razón

2,

y su diferencia es

r+2r=3r.

Al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo formado por

P,

el centro del círculo menor y

A

,

PA^2=(3r)^2-r^2=8r^2.

Así,

16=8r^2,

por lo que

r^2=2

y el área es

2\pi.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since

PA=4

and

AB=4,

we have

PB=8.

The homothety centered at

P

taking the smaller circle to the larger therefore has ratio

2.

If the smaller radius is

r,

its center is

3r

from

P:

the centers are on the same ray, their distances from

P

have ratio

2,

and their difference is

r+2r=3r.

Applying the right triangle formed by

P,

the small center, and

A

,

PA^2=(3r)^2-r^2=8r^2.

Thus

16=8r^2,

so

r^2=2

and the area is

2\pi.

Thus the correct answer is B.