1979 AMC 12 Problema 22

Question

Halla el número de pares de enteros

(m,n)

que satisfacen la ecuación

\begin{aligned} m^3+6m^2+5m &=27n^3+9n^2\\ &\quad+9n+1. \end{aligned}

Find the number of pairs

(m,n)

of integers which satisfy the equation

\begin{aligned} m^3+6m^2+5m &=27n^3+9n^2\\ &\quad+9n+1. \end{aligned}

0

1

3

9

infinitos

infinitely many

Factoriza el lado izquierdo como

m(m+1)(m+5)

Factor the left side as

m(m+1)(m+5)

Compara ambos lados módulo

3

Compare the two sides modulo

3

El lado izquierdo es

\begin{gathered} m(m+1)(m+5)\\ =m(m+1)(m+2)\\ \quad+3m(m+1), \end{gathered}

que es divisible por

3

para todo entero

m.

El lado derecho es

3(9n^3+3n^2+3n)+1,

que es congruente con

1\pmod3.

Por tanto, ningún par de enteros satisface la ecuación.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The left side is

\begin{gathered} m(m+1)(m+5)\\ =m(m+1)(m+2)\\ \quad+3m(m+1), \end{gathered}

which is divisible by

3

for every integer

m.

The right side is

3(9n^3+3n^2+3n)+1,

which is congruent to

1\pmod3.

Therefore no integer pair satisfies the equation.

Therefore, the correct answer is A.

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